Пара слов о математике и богословии : Часть первая

Как-то раз я увидел диалог священника Ткачёва с математиком Савватеевым, в котором были высказаны многие идеи, с которыми я не могу согласиться. Оба они известны своими ультраконсервативными убеждениями, радикально-патриотическим отношением ко многим вещам, и эпатажными высказываниями (такими как, например, отрицание теории эволюции, или знаменитая цитата Ткачёва «муж должен ломать жену об колено»). У Савватеева есть много прекрасных образовательных проектов, в том числе канал на ютубе, и при том что наши с ним взгляды во многом противоположны, его подход к преподаванию математики мне даже нравится. Нравится в первую очередь тем, что в нём нет горделивой заносчивости, с которой мне, к сожалению, частенько приходилось иметь дело в среде «олимпиадников». Нет в нём этих фразочек свысока в ответ на любой вопрос: «ну это же совсем просто!» (даже если после этого обсуждению вопроса отводится половина семинара).

Помимо образовательной деятельности, Савватеев — профессиональный математик с двумя степенями, и, насколько я могу судить, значимыми работами. Несмотря на очевидную разницу в нашей компетенции, в этом диалоге он коснулся темы, в которой я что-то смыслю — и тем печальнее мне слышать озвученные им высказывания. Я думаю, что должен прокомментировать это, потому что вижу тут возможность сформулировать, наконец, некоторые собственные взгляды на математику в целом.

Для начала две цитаты без комментариев.

"Люди, изучающие жизнь, не верят в её Творца - это что-то невероятное".

"Человек живёт, дышит, разговаривает, а труп валяется и гниёт - неужели не очевидно, что из человека что-то ушло?"

Идём дальше.

"Бесконечность - указание на Бога. Мы можем делать переход через бесконечность. В нормальной жизни мы можем просуммировить миллиард слагаемых, или, если компьютер сильный, то триллион. Ну или триллион триллионов. А ум математика может сказать, чему равна точная сумма бесконечного ряда в некоторых случаях, когда она существует".

Уж сто лет как Вейль с Брауэром рассуждали о свободно становящихся последовательностях, а специалисты по логике, от Гёделя до Маркова, развивали теорию вычислимости, а у нас в XXI веке ум математика "делает переход через бесконечность"... В этом месте можно предложить Савватееву задуматься над такими вопросами, как, например, чему в точности равно число e как сумма ряда? Впрочем, на это возражение вполне возможно ответить как-нибудь замаскировав последовательность приближений под "переход через бесконечность". Однако в качестве более занятного примера можно вспомнить о конструкции Э. Шпекера, позволяющей получить ряд, последовательность членов которого будет вычислимой, но сумма которого будет тем не менее невычислимым конечным числом.

Иными словами, ряд сходится, но не существует никакого алгоритма, позволяющего указать его сумму за конечное время даже приближённо. Это - невычислимое число, и никакой ум математика не поможет вам получить о нём информацию.

Что же происходит, когда мы суммируем, например, бесконечно убывающую геометрическую прогрессию? На самом деле в этом случае мы ничего не вычисляем. Мы за конечное количество логических шагов доказываем определённое свойство геометрической прогрессии, которое утверждает, что есть такое особое число (называемое суммой), что разница между ним и суммой первых скольких-то чисел последовательности может быть сделана меньше любого желаемого числа, играющего роль степени точности. Хотите совпадения с точностью 0,001? Берите, скажем, 80-е число из последовательности. Хотите совпадения с точностью 0,00001? Берите 956-е. И так далее, каждый раз мы можем указать на число в последовательности, которое будет стоять близко к пределу с нужной точностью. Разница между предельным переходом и вычислением огромна: предельный переход существенно задействует логические отношения, а не только арифметические операции над числами. По своей сути предельный переход (и все его разновидности, такие как подсчёт интегралов, пределов, производных и сумм рядов) существенно ближе к доказательству, чем к вычислению, а доказательство - это всегда конечный процесс. Да, во всех имеющих практическое значение случаях этот конечный процесс доказательства приводит нас к тому, что число-предел, существование которого мы доказываем, оказывается возможно вычислить также за конечное время. Это вызывает иллюзию того, что ум математика что-то там может. Но вообще говоря, это никак не связанные вещи, и, как показывает результат Шпекера, вполне возможна ситуация, когда мы вполне себе доказываем существование предела, который никакой ум математика вычислить за конечное время не сможет.

В качестве третьего интересного примера приведу конструкцию сходящейся последовательности, для которой невычислим номер числа, задающего требуемую точность приближения к пределу. Берём в качестве f функцию, возрастающую быстрее, чем любая вычислимая функция (эту функцию можно сконструировать с помощью "задачи усердного бобра" из теории машин Тьюринга). Последовательность a строится так: на отрезке от f(n-1) до f(n) a_k = 1/n. Пусть теперь N(n) - номер такого числа, начиная с которого a_n < 1/n (т.е. достигается точность 1/n). Тогда, конечно, функция N(n) >= f(n), следовательно, она растёт ещё быстрее, чем f(n), и потому не может быть вычислима. В этом примере мы можем указать приближение, но не можем за конечное время указать, начиная с какого номера оно достигается. Этот пример я нашёл на stackexchange и переписал, видимо, когда готовился к одному из экзаменов — к сожалению, сейчас уже не могу указать его автора.

Так что, господа, вся эта лирика про то что математики витают в бесконечностях - это, в общем-то, просто романтика.

"Вы нарисуйте на доске окружность. Она не будет окружностью, но очевидно, что каждый ученик, сидящий в классе, видит где-то у себя эту идеальную окружность".

Нет. Если ученик представляет у себя в голове зрительный образ, он не "видит идеальную окружность". Он использует зрительную интуицию полоски на доске для того чтобы осознать и использовать в рассуждениях соотношения задающие свойства идеальной окружности (одним из которых, кстати, является то, что к ней применима данная зрительная интуиция). Однако зрительный образ, воспринимаемый учеником у себя в голове с помощью мозга, ничуть не лучше зрительного образа, воспринимаемого учеником на доске с помощью глаз (а в конечном счёте, конечно, с помощью того же мозга). Реальную информацию об идеальной окружности дают её свойства, воспринимаемые людьми скорее как ассоциативные связи между понятиями в голове при мышлении (с помощью того же мозга, кстати). При чём тут "платоновский мир идей", я решительно не понимаю - в "мире идей" с тем же успехом может содержаться идея и о нарисованной на доске "неидеальной окружности", так что в этом философском пассаже всё как-то смешано в одну кучу. "Идеальная окружность" ничем фундаментально не отличается от "неидеальной": и тому, и другому соответствует как чистая информация, так и служащий источником опыта физический объект. Просто "идеальная окружность" как физический объект существует в виде некой структуры нейронных связей в мозге (если верить в модель реальности, где есть мозг, а так источник любого опыта — это, конечно, вещь в себе), а "неидеальная окружность" как физический объект существует в виде структуры частиц карбоната кальция на доске.

"Платоновские образы - это Бог, это там. По крайней мере, это не здесь".

Да, "идеальная окружность" - это, действительно, не "здесь", в классе на доске. Это "там" - у нас в мозге.

"В любой непротиворечивой аксиоматизируемой теории есть утверждение, которое в ней истинно, но недоказуемо её средствами! Это прямое указание на Бога!"

Эта фраза очень напоминает мне ситуацию, в которой ключок рыбака цепляется за упавший в озеро самолёт времён Второй мировой, и, не сумев его вытащить, рыбак начинает рассказывать всем вокруг о том, что в озере водятся сомы размером с лошадь.

Что ж, присаживайтесь поудобнее, господа, заваривайте чаёк, включайте музыку. Нам предстоит очень длинное путешествие. Я, в силу своих ограниченных математических возможностей, попробую поработать научпокпером и поведаю вам историю про богословский смысл теорем Гёделя.
Перед тем как я начну излагать свой собственный взгляд на философию теорем о неполноте, я должен пояснить три термина: эффективная аксиоматизируемость, синтаксическая полнота и семантическая полнота. Запоминайте.

1) Формальная теория называется эффективно аксиоматизируемой, если существует алгоритм, проверяющий по формуле, аксиома это, или нет.

Математика знает много различных уточнений понятия алгоритма. Исторически первым из них была конструкция абстрактного языка команд, получившего название "машина Тьюринга": таким образом, можно сказать, что теория эффективно аксиоматизируема, если множество её теорем печатается в ходе (возможно, бесконечного) выполнения некоторой системы команд машины Тьюринга. Позднее с изобретением новых языков программирования и новых абстрактных алгоритмических систем вроде языка рекурсивных функций, люди стали понимать, что по какой-то причине все они оказываются эквивалентными языку команд для машины Тьюринга (и друг другу). Смысл этой эквивалентности такой: любая программа для любого из них может быть переделана в программу для машины Тьюринга, решающую ту же самую задачу (конечно, при наличии естественного преобразования результатов работы программ одного языка в результаты работы программ другого языка). Был сформулирован даже философский тезис, получивший название «Тезис Чёрча» — эта гипотеза состоит в том, что вообще все доступные нам методы алгоритмизации и в будущем так и будут сводиться к программе для машины Тьюринга. Таким образом, с большой долей вероятности мы можем утверждать, что в любой ситуации, где мы имеем дело с алгоритмами, этим алгоритмом является набор команд для машины Тьюринга. Это утверждение, впрочем, никем не доказано: вполне вероятно, что в будущем будет изобретён или открыт физический процесс, позволяющий создать принципиально новые алгоритмы, результаты работы которых не будут достижимы ни на машине Тьюринга, ни на какой-либо из алгоритмических языков команд, которые ей эквивалентны. Подобные алгоритмы называются "гипервычислениями", и они позволяют за конечное время решить задачу, для решения которой с помощью команд машины Тьюринга требуется бесконечно много времени. Безусловно, основная проблема реализации гипервычислений состоит в том, что вычислительные операции мы производим с помощью определённым образом организованных реальных физических процессов. Однако каждый такой процесс занимает определённое конечное время, и согласно современным представлениям, невозможно сделать физические процессы произвольно быстрыми - есть верхний предел скорости их протекания, а также нижний предел времени, которое можно на них затратить. Поэтому согласно современным физическим моделям Вселенной, всякий процесс, решающий задачу, на которую требуется бесконечно много тьюринговых операций, должен протекать бесконечно долго. И это величайший тупик, над которым, предполагаю, будут думать цивилизации даже через миллиарды лет, потому что для решения этой задачи недостаточно даже уметь строить сферы Дайсона или путешествовать через кротовые норы - требуется изменить законы физики.

Вообще говоря, мы можем рассуждать о формальной теории только тогда, когда мы зафиксировали некий математический язык — то есть, объявили набор чётких правил, по которым из отдельных символов строятся формулы этой теории. Иными словами, мы объявляем правила, которые позволяют отделить осмысленные суждения языка, то есть, формулы, от бессмысленных нагромождений символов. Подобные правила являются неотъемлимым элементом любой теории, они называются формативные критерии. Примером формативного критерия может быть правило, говорящее, что, если F и G - знакосочетания, обозначающие объекты, то знакосочетание F = G является формулой. И лишь после того как мы указали, что вообще считать формулой, мы приобретаем возможность объявить часть этих формул аксиомами, а ещё принять логические правила, которые говорят, каким именно образом из одних доказанных суждений выводятся другие. При этом аксиомы считаются доказанными по умолчанию, а остальные доказуемые формулы называются теоремами. Примером правила вывода может служить Modus Ponens, которое говорит, что если были доказаны формулы A и A → B , то надлежит объявить доказанной и формулу B.

В этом месте нужно обратить особое внимание на смысл слова "объявить правила".

Представим себе, что у нас имеется некий математический язык, про который мы знаем, что он объявляет некоторые последовательности символов формулами по какому-то совершенно абстрактному правилу, но при этом не существует никакого алгоритма, который позволил бы реально понять, является ли данное конкретное знакосочетание формулой этого языка, или нет. Конечно же, такой язык был бы совершенно бесполезен для математики. Для того чтобы язык имел какое-то применение, мы должны иметь некоторый алгоритм, который, анализируя сочетание знаков, выдаёт нам "ДА", если это сочетание знаков является формулой, и "НЕТ", если не является. В подобной ситуации, когда можно алгоритмом проверить, является ли нечто формулой, или нет, мы говорим, что множество формул является разрешимым (и вообще, в ситуации, когда можно алгоритмом проверить, выполнено ли некое свойство для какого-то объекта, мы говорим, что это свойство является разрешимым).

Представим себе, далее, что у нас есть язык, его множество формул разрешимо (можно отделить алгоритмом формулу от не-формулы), но множество аксиом теории неразрешимо. О такой теории будет трудно что-то сказать, потому что мы не будем знать, можем ли опираться на суждение как на аксиому, или нет. Таких теорий хочется избегать, и по этой причине множество аксиом также должно быть разрешимым. Если множество аксиом является разрешимым, то такая теория называется эффективно аксиоматизируемой.

Наконец, третий этап построения теории - это вывод теорем. Теоремы - это формулы, которые объявляются доказанными (или, по-другому, выведенными). Аксиомы объявляются доказанными по умолчанию, т.е. любая аксиома — это и теорема в то же время. Другие теоремы выводятся из формул-аксиом, а также из уже доказанных к этому моменту теорем с помощью правил вывода. Таким образом, правила вывода задают определённый алгоритм, который доказывает теоремы теории, последовательно применяя правила сначала к аксиомам, а потом к уже любым выведенным на предыдущих этапах формулам. В подобной ситуации, когда можно алгоритмом вывести бесконечную последовательность формул по очереди, мы говорим, что множество теорем этой теории перечислимо.

В рамках любой теории, кроме можно доказать (если пренебречь ограничениями по времени) бесконечно много формул-теорем (исключение — гипотетические ультрафинитистские теории, но о них в самом конце). Поэтому выводить их все по очереди - плохой способ узнать, выводима ли конкретная формула F, или нет. Если формула недоказуема, мы будем бесконечно долго следить за формированием последовательности доказанных формул, ожидая появления в ней нашей формулы, и так и не узнаем, что она недоказуема. Бывают теории, для которых удаётся разработать алгоритм, определяющий по любой формуле, является ли она выводимой, или нет, и выводящий "ДА" или "НЕТ" в качестве ответа на этот вопрос, то есть теории с разрешимым множеством теорем. Такие теории называются просто разрешимыми.

2) Концепция синтаксической неполноты проста. Теория называется (синтаксически) полной, если для любой формулы в ней доказуема либо эта формула, либо её отрицание. Соответственно, под синтаксической НЕполнотой мы имеем в виду, что есть такая формула, что нельзя доказать ни её, ни её отрицание.

3) Концепция же семантической неполноты, напротив, несколько сложна, и требует для своего чёткого определения осознания многочисленных промежуточных понятий. Я не стану здесь излагать их все, но попробую объяснить её в несколько упрощённом варианте на примерах.

Формальные теории оперируют с формулами. Но формулы - это знакосочетания, то есть, последовательности символов. Математика же в основном работает не с символами, а со структурами самой разнообразной иной природы. Например, математика работает с натуральными числами, с дробями, с геометрическими фигурами, с абстрактными пространствами самых разных типов (в том числе различными моделями реального физического пространства), и так далее. Все эти структуры заметно отличаются по своим свойствам от операций, происходящих с формулами в теории. И тем не менее мы видим, что все объекты, с которыми математик может иметь дело в обычной практике, доступны в виде математических выражений (общее название для выражений, обозначающих объекты — термы), а все их свойства - в виде формул. Например, мы никак не можем оперировать с числом 2, если лишить нас возможности писать обозначающие его термы в каком-то языке — такие как "1+1", "два", или просто "2". И мы никак не можем оперировать с теоремой Пифагора, если лишить нас возможности писать выражающие её формулы или заменяющие их предложения русского языка. Точно так же и с понятием истины: если мы можем говорить об истинности какого-то свойства в математике, мы хотим иметь ему доказательство, а любое доказательство может быть выражено манипуляциями с символьными формулами математического языка. Наконец, точно так же и с понятием смысла: если мы можем говорить о смысле какого-то объекта в математике, мы всегда имеем возможность задать этот смысл символами — системой аксиом, положенных в основе теории. Например, смысл понятия точки в геометрии задают обычно именно аксиомами. Мы постановили по определению считать точкой НЕЧТО, что удовлетворяет аксиомам Евклида. И даже если оно будет при этом иметь какие-нибудь ещё свойства (например, неким непостижимым образом будет банками с пивом) - мы всё равно будем считать это точкой, потому что все геометрические теоремы про него будут по-прежнему доказуемы — ведь в доказательствах используются только аксиомы, а остальные свойства вещей, о которых идёт речь, для математики совершенно не важны.

И именно в этот момент возникает важный вопрос, который некогда похоронил философию неопозитивизма: а есть ли вообще сущность чего-либо отдельно от языка? На момент начала XIX века вся математика сводилась к языку формул и символов, и нечто подобное начало прослеживаться и в физике. Так можно ли и вовсе признать иллюзией некое "число 2", существующее отдельно от символьных выражений, забыть про него, и принять, что любые структуры — это лишь удобный инструмент для формальной теории?

/*сравните это с идеями эмпириокритицизма, проблемой протокольных предложений и теоретической нагруженностью языка наблюдений, и вы поймёте, почему я считаю математику и физику в сущности одной наукой! А осознав это, сравните роль квалиа в крахе естественнонаучного направления неопозитивизма и роль теорем о неразрешимости в крахе его математического направления — и у вас появится подозрение о том, что такое ощущение! Не благодарите.*/

Всегда ли истинность будет означать наличие доказательства, или же можно предъявить формулу, которую математик будет согласен признать истинной по неким иным причинам, невзирая на невозможность получить доказательство? Наконец, всегда ли осмысленность понятия будет означать наличие для него системы аксиом, или же можно помыслить себе понятия со смыслом, заведомо несводимым к чёткому перечислению аксиом? Это один из основных вопросов, ответ на который дают теоремы Гёделя.

Стремясь объединить истинность и доказуемость в одно понятие, математики дали как можно более чёткое определение им обоим. Что такое доказуемая формула, мы уже обсудили. Истинность — намного более трудное понятие. Как я уже упомянул, в роли основания для неё в математике выступает такая вещь как структура, и теперь я дам этому понятию более чёткое определение. Если очень упрощённо говорить, структура —это абстрактный набор из объектов и самых разных отношений между ними, которые мы предполагаем имеющими самостоятельное существование, отдельно от обозначающих их формул и символьных выражений теории. Например, в качестве набора объектов структуры можно брать числа (про которые мы предполагаем, что число не обязательно предполагает что мы как-то его обозначаем), а в качестве отношения — какое-то свойство этих чисел (про которое мы предполагаем, что оно не обязательно может быть не то что доказано, но даже и просто записано какой-то формулой). Повторю ещё раз, что в рамках этой парадигмы мы разделяем символ 2 и число, обозначаемое символом 2. Мы разделяем доказуемость формулы из символов: 2+2=4, и истинность свойства чисел "2+2=4", записываемого этой формулой *). Мы разделяем также предикатный символ = и отношение одинаковости чисел. Таким образом заданная система, в которой есть числа, их свойства, и отдельно есть обозначающие их формулы теории, называется "модель натуральных чисел", а сама теория, содержащая формулы и символы, обозначающие числа и их свойства, называется формальная арифметика. Ряд получаемых таким образом понятий, связанных с символами — "теория", "терм", "доказательство", "аксиома", и т.п. - относится к синтаксической категории. А ряд понятий, связанных со структурой - "свойство", "истинность", "число", "отношение" - относится к семантической категории. Наконец, мы должны объявить, что между синтаксическими понятиями и семантическими есть некая связь, символам придан смысл так, что они стали что-то означать: символ "2" обозначает число со свойствами двойки, символ "=" обозначает отношение со свойствами понятия одинаковости, формулам арифметики тоже соответствуют отношения, выражающие свойства чисел, и т.п.. Эта связь называется в математической логике интерпретацией, и если задана интерпретация, то её можно использовать как самостоятельный источник смысла символьных выражений вместо системы аксиом. В некоторых логических теориях (например, в дескрипционной логике) даже не разрабатывают аксиоматику за ненадобностью, обходясь устоявшейся интерпретацией. Конечно же, по этой причине интерпретация также относится к семантическим понятиям.
______________________________________________________
*) Также я хочу отметить, что на письме и в речи мы всегда будем использовать формулы для выражения свойств чисел. Например, для выражения свойства a + b = b + a мы всегда будем писать именно эту формулу. Но мы будем придавать ей разный смысл в зависимости от того, на каком языке выражаем в данный момент свои мысли. Иногда в некоторых курсах логики используют два вида написания: "a+b=b+a" чтобы обозначить формулу из символов, и "=(+(a,b),+(b,a))" чтобы обозначить свойство чисел.

Когда у нас есть формулы какого-то математического языка L, и их символам придана определённая интерпретация так, что они стали обозначать объекты и свойства какой-либо структуры (например, натуральные числа или геометрические точки), мы говорим об L-структуре (к сожалению, эти понятия с несколько разным смыслом обозначаются очень схожими терминами). То есть L-структура подразумевает, что свойства, которые можно формулировать для структуры, как истинные, так и ложные, не просто абстрактно мыслятся, а обозначены формулами с интерпретацией - вот и всё. Можно пытаться использовать разные математические формульные языки (например, языки L и M) для того чтобы говорить об одной и той же структуре — и тогда у нас будут, скажем, M-структура и L-структура. Итак, у нас есть два типа убеждённости в формулах: есть формулы, доказуемые в теории (теоремы), и формулы, истинные в L-структуре (они выражают верные свойства объектов структуры). Теперь предположим, что мы задействуем оба этих механизма одновременно: у нас есть структура и язык, и мы составляем с помощью формул этого языка одновременно и L-структуру, и просто какую-то отдельную теорию (аксиомы которой изначально могут быть никак не связаны со свойствами объектов структуры), и хотим чтобы оба способа придания смысла формулам были как можно более близки. Для этого наладим связь между формулами и свойствами: а именно, составим теорию так, чтобы её аксиомы выражали истинные свойства структуры (как мы поймём, что именно такие формулы выражают истинные свойства — отдельный важный вопрос, совершенно философский, который мы также обсудим ниже). В такой ситуации мы говорим о том, что эта L-структура является моделью для теории. В этой ситуации выводимые из аксиом теории теоремы тоже будут истинными для L-структуры формулами (хотя вообще говоря, это свойство, которое называется корректностью, надо доказывать отдельно для каждой теории). Но вполне может оказаться так, что для объектов структуры будут истинными ещё какие-то свойства, и эти свойства записываются формулами, недоказуемыми в теории: то есть теория доказывает истинные свойства, но не все. Так вот именно эта ситуация называется семантической неполнотой теории относительно структуры. Теория называется семантически неполной относительно её модели, если мы не можем доказать в теории всех формул, истинных в этой модели. Конечно же, семантически полные теории являются полными и синтаксически (вспомните определение синтаксической неполноты!). Действительно, возьмём какую-нибудь формулу языка L, допускающую интерпретацию как свойства объектов какой-то L-структуры. Эта формула выражает или истинное свойство структуры, или ложное. Если она выражает истинное свойство структуры, то семантически полная теория должна её выводить. А если она выражает ложное свойство структуры, то отрицание этой формулы выражает, наоборот, истинное свойство, и семантически полная теория должна выводить это отрицание. Следовательно, для любой формулы мы получаем, что семантически полная теория выводит или её, или её отрицание — но это и означает по определению, что эта теория полна синтаксически.

Если для какой-то структуры удалось сделать семантически полную теорию, то мы можем до известной степени считать, что изучение свойств этой структуры целиком сводится к выводимости формул этой теории, т.е. к манипуляциям с символами по формальным законам. Например, такова формальная элементарная геометрия или теория сложения рациональных чисел — это полные теории. Однако тут есть три оговорки.

— Во-первых, может оказаться, что семантически полная теория есть, но она не является эффективно аксиоматизируемой. Без гипервычислений мы не сможем отделить её аксиомы от её не-аксиом, и по этой причине нам от этой теории ни горячо, ни холодно. Это классический случай теоремы Гёделя о неполноте в семантической формулировке.
— Во-вторых, может оказаться, что семантически полная эффективно аксиоматизируемая теория для структуры есть, но в структуре у объектов существуют свойства, которые формулами языка этой теории в принципе невыразимы (ведь, заметьте, семантическая полнота не требует что все свойства должны быть выразимы формулами, она требует лишь того чтобы те истинные свойства, что удалось выразить, были доказуемы).
— Наконец в-третьих, может оказаться, что для структуры есть семантически полная, выразительная, и эффективно аксиоматизируемая теория, но эта структура содержит слишком бедный набор свойств, чтобы из них можно было получать важные для математики теоремы.

Предположим теперь, наоборот, что у нас есть некая структура S1, и мы располагаем только лишь семантически неполной для неё теорией T. В таком случае в ней не выводится некоторого истинного свойства этой структуры - пусть это свойство P. Может оказаться так, что удаётся построить другую структуру S2, которая будет совпадать с S1 во всём что не касается этого свойства P, а вот свойство P будет для этой структуры ложным. Из-за того что формула, выражающая P, не выводится в теории T из-за неполноты, все выводимые в Т формулы окажутся истинными и для S2, то есть S2 тоже будет моделью теории Т. Иными словами, семантически неполная теория не может выразить чёткого определения своей модели, и потому у неё есть много разных моделей. Давайте теперь рассмотрим теорию, содержащую все истинные свойства натуральных чисел, выраженные формулами, причём эти суждения в ней просто объявлены аксиомами, и, кроме аксиом, теорем в ней нет (эта теория состоит только из аксиом). Как мы увидим ниже из теоремы Гёделя, эта крайне важная теория, обозначаемая Th(N), не является эффективно аксиоматизируемой. Но у неё есть одна-единственная модель, и этой моделью является структура натуральных чисел. Если бы мы обладали гипервычислениями, мы могли бы полностью свести изучение натуральных чисел к изучению этой теории. С другой стороны, существует много вариантов теорий формальной арифметики, созданных для описания свойств чисел (и, как надеялся Гильберт, для полного сведения свойств чисел к формулам этих теорий). Мы будем рассматривать один из минимальных вариантов — формальную арифметику Робинсона. Эта теория эффективно аксиоматизируема, её аксиомы выражают истинные свойства натуральных чисел, но, как мы увидим ниже из теоремы Гёделя, она семантически неполна. Следовательно, кроме структуры натуральных чисел, у неё должны быть и другие модели — и такие модели, "нестандартные модели натуральных чисел", были найдены. В их основе лежат странные структуры, которые не являются натуральными числами, но для которых верны все аксиомы, принятые для натуральных чисел в арифметике. Про них можно подробнее прочитать, например, в этом физтеховском конспекте:

Обсуждая философские вопросы, математики часто относят к семантической категории также понятие смысла вообще, но я выступаю против этого, потому что считаю, что задание смысла формул аксиомами (т.е. вещами из сферы синтаксиса) ничем не хуже и не лучше задания смысла с помощью интерпретации формул как отношений между объектами структуры (т.е. семантикой). И вообще говоря, источники смысла (который я отождествляю скорее с неким чувственным опытом связи между понятиями у себя в голове) могут иметь разную природу, может быть даже и ещё какую-то совсем иную. После теорем Гёделя можно было в этом какое-то время сомневаться, но после 60 лет развития теории вычислимости я не вижу между ними фундаментального отличия - ведь теперь математикам известна нужная мощность гипервычислений, какую должен иметь синтаксис, чтобы быть эквивалентным семантике... Но об этом позже, много позже. А вы как думали? Богословие — оно такое, это очень сложная наука.

Различие между синтаксисом и семантикой имеет много важных философских последствий. Одно из них состоит в следующем. Давайте подумаем над вопросом "что такое натуральные числа?" в контексте того, что мы уже про них сказали. С одной стороны, мы хотели бы сказать, что натуральные числа - это объекты, удовлетворяющие аксиомам формальной арифметики. Как мы уже обсуждали, это определение вызывает вопросы, потому что у нас есть сомнения в том, что все мыслимые свойства чисел можно выразить доказуемыми формулами — поэтому мы не хотим определять числа таким образом. Однако предположим, что мы даже смогли реализовать мечту Гильберта и всё же построить эффективную аксиоматику, из которой возможно вывести все истинные свойства натуральных чисел, и ни одного ложного. Тогда некто может сказать: что ж, хорошо, вы свели определение натуральных чисел к формулам. Но что такое формула? Это последовательность символов по определённым правилам. Однако последовательность символов - это ни что иное, как функция, или, по-другому, отображение из множества натуральных чисел в множество символов алфавита теории. Следовательно, на самом деле это порочный круг дефиниций, и вы пытаетесь определить натуральные числа через натуральные числа. Таким образом, программа Гильберта была бессмысленна с самого начала.

На это указание у меня имеются несколько возражений.

Первое и самое слабое возражение состоит в том, что вообще говоря, совершенно неочевидно, что формулы являются отображением именно из множества натуральных чисел в алфавит. Чтобы задать формулу, требуется указать лишь какой символ идёт раньше, а какой позже, для каждой пары символов. То есть существует возможность, что речь идёт не о натуральных числах, а о неком абстрактном линейном порядке.

Второе возражение состоит в том, что натуральные числа могут быть определены не только средствами формальной арифметики, но и средствами теории множеств. Иными словами, натуральные числа могут быть представлены как множества определённого вида. Эта знаменитая конструкция состоит в следующем. Числу 0 сопоставляется пустое множество. А если мы уже дали теоретико-множественное определение числу n как множества N, то число n+1 определяется как N объединённое с множеством {N} из одного элемента. После этого определения сложения и умножения чисел переносятся на теоретико-множественный язык дословно. Можно показать, что тогда стандартная модель натуральных чисел может быть с успехом сведена к свойствам множеств: то есть, для всех свойств натуральных чисел будет свойство множеств с тем же смыслом. Для тех, кто согласен считать множества начальными неопределяемыми объектами, это будет вполне весомым возражением к приведённому рассуждению: вот, числа сведены не к формулам, а к множествам. Однако для тех, кого не устроит считать множества чем-то неопределяемым (и на то есть весомые причины вроде известных теоретико-множественных парадоксов), математика не может предложить ничего, кроме как определения множества через формулы формальной теории - только в этот раз уже не формальной арифметики Робинсона, а формальной теории множеств ZFC. Таким образом, числа оказываются сведены, в конечном счёте, всё к тем же формулам.

Третье и основное возражение касается основных достижений философии XX века. Оно намного более сложно, и оно требует размышлений о том, почему математики вообще хотели свести структуру натуральных чисел к формальной теории.

Итак, почему именно в сведении смысла к формальной теории можно видеть обоснование математики? Дело в том, что смысл понятий — это категория, которая относится скорее к человеческому мышлению, чем к чему-то объективно существующему. Смысл приписывается понятиям не "a priori", а лишь в мышлении благодаря восприятию определённого рода мыслительного опыта в моей голове — ощущений осознания, и, что важно, вспоминания связей между понятиями, ощущений ассоциаций и убеждённостей в суждениях. В то время, когда разрабатывалась гильбертовская программа оснований, эти мыслительные ощущения именовались "интуицией". Обратите внимание, что уже в то время Гильберт прекрасно осознавал, что мышление - это чувственный опыт, данный нам "до всякой логики". Он, однако, ещё не понимал до конца, что непосредственные, объективные свойства этого языка невозможно выразить, как невозможно выразить и какого угодно ещё объективного свойства. Гильберт был неопозитивистом, опередившим своё время. Он пытался решить в математике проблемы, аналогичные проблемам, возникшим несколько позже в физике (как это часто бывает). А теперь самое главное. Подобно тому как неопозитивисты Венского Кружка полагали, что существует некий язык протокольных предложений, к которому можно свести и через который можно обосновать весь чувственный опыт, являющийся основанием для естественных наук, Гильберт считал, что "настоящим", "объективным" языком, выражающим ощущения мышления ("интуицию"), является формальный язык, основанный на символах. В предлагаемой им концепции финитизма символы являлись непосредственно воспринимаемыми источниками смысла и убеждённости в логических следствиях, "данными нам мгновенно, интуитивно, как нечто, что не может быть сведено к чему-либо ещё". Конечно же, он не говорил о символах исключительно как о знаках на бумаге — скорее, он хотел иметь в виду под этим словом некий набор мыслительных ощущений, восприятие памяти и сравнения которых составляет мышление. В соответствии с этим финитизм рассматривает символы как некие объективно существующие, хотя и, возможно, нематериальные, элементы языка мышления, и выделяет математические суждения, которые построены на действиях с символами, как абсолютно обоснованные. Просто потому что, как учит финитизм, знание о свойствах символов и отношениях между ними является непосредственным, т.е. неопосредованным никаким логическим переходом. Например — так рассуждал Гильберт — , если два символа различны или одинаковы, то они различны или одинаковы не потому что это доказывается логическим аппаратом какой-либо формальной теории, или представляется как истинное в какой-то структуре свойство, а потому что мы это непосредственно ощущаем (зрением ли на бумаге, или представлением в мышлении), см. https://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/.

Да, логическими средствами, наример, теории множеств мы можем определить формулы как последовательности символов, и, например, доказать, что две формулы различны, потому что, например, 5-й символ одной из них не входит в множество символов другой. Или же мы можем закодировать символы натуральными числами (без какой-либо теории), и увидеть, что число, являющееся кодом 5-го символа первой формулы, не равно ни одному из чисел, являющихся кодами символов другой формулы. Но финитизм не считает, что эти обоснования необходимы, потому что неравенство символов формул воспринимается непосредственно. В рамках финитизма объекты, построенные из символов, имеют не только определение сведением определённой логикой к иным абстрактным объектам, но и определение как внелогических вещей, все свойства которых воспринимаются непосредственно.

Теперь, после работ Гёделя в математике, а также нео- и постпозитивистов в естественных науках, мы понимаем, что о получаемом опыте невозможно выразить объективно-верных суждений: всякий язык будет всегда порождать только лишь модели, основанные на опыте, но опыт не может быть сведён ни к одной из них. Подобно тому как вы не сможете выразить словами восприятие цветового ощущения тому человеку, который никогда не видел цвета, вы не сможете и выразить символами ощущения, составляющие чувственный опыт нашего мышления, как это многократно демонстрирует современная философия сознания. Этот опыт будет в любом случае выражен опосредованно, через некую модель, построенную в лучшем случае через ощущения нашей памяти, а в худшем случае — через ощущения значков на бумаге. Формальная теория — это структура, специально разработанная математиками в качестве модели восприятия нашего мышления — подобно тому как пространство-время из теории относительности является структурой, специально разработанной физиками в качестве модели опыта восприятия окружающего нас пространства (я здесь использую слово «модель» не в том смысле, в каком ранее давал определение модели формальной теории, а в более общенаучном). Эта модель мышления, основанная на символах, весьма естественна, и велик соблазн, подобно Гильберту, признать символы тождественными ощущениям. Однако объективная природа мышления остаётся нам неизвестной, и вполне возможно, что в будущем в роли модели мы выберем совершенно другие структуры — подобно тому как это происходит в физике при открытии новых экспериментальных данных.

Как видите, подходя к математике как к эмпирической науке, мы приобретаем возможность объединить в единую систему множество философских понятий, отношений и категорий. Мы видим, что решение проблем оснований математики происходит в паре с решением аналогичных фундаментальных проблем методологии естественных наук (в первую очередь, физики), и с таким подходом эта аналогия становится не случайной, а совершенно естественной. И весь этот необъятный спектр возможностей реализуется благодаря одному лишь только, самому главному, постулату: мышление - это восприятие.

Наконец, теперь мы можем вкратце рассмотреть четвёртое возражение, использующее только что объяснённые мной идеи. Оно касается такой вещи как метатеория. Это очень крутая штука, позволяющая окончательно стереть кажущуюся фундаментальной границу между синтаксической и семантической категориями. Чтобы понять, о чём я буду говорить, я должен для начала объявить то, за что, вероятно, специалисты по теории моделей будут кидаться в меня тапками; но я, честно говоря, не знаю, как называется обобщение структуры, о котором я хочу говорить, и существует ли оно вообще. А именно я хочу сказать, что формальная теория — это такая же структура, как и натуральные числа, группы, пространства, и все остальные (то, что, как я подозреваю, не до конца понимали математики начала XX века). В отличие от натуральных чисел, это довольно сложно определяемая структура: у неё несколько множеств объектов (множества символов, формул, термов и теорем), и довольно сложно заданные группы отношений между ними (сигнатура, арности, аксиоматика, правила вывода и формативные критерии). Обычно структурой называется система с одним множеством объектов, однако я не вижу тут разницы, которая бы имела значение для этого текста, поэтому всё же рискну называть теорию структурой. В дальнейшем нам очень нужно будет осознавать, что как формальные теории, так и натуральные числа — частный случай этой более общей математической категории, а интерпретацию следует понимать скорее как сопоставление объектов и соотношений из одной структуры объектам и соотношениям другой.

Далее я должен сделать второе предварительное замечание. Выше, во втором возражении, мы определяли последовательности через множества. Однако на самом деле можно дать определение последовательностей только через натуральные числа, на чисто арифметическом языке, без множеств. Это делается с помощью не самой простой техники бета-функции Гёделя, которую я не хотел бы здесь излагать - поэтому просто предлагаю поверить, что последовательности символов можно определить как некие хитрым образом вычисляемые натуральные числа. Тех, кого интересуют подробности, отсылаю, например, к лекциям Б. Кима.

Итак, нам предлагается определять формулы как последовательности символов, а последовательность символов — как некое натуральное число. Но вспомните, что формулы из критикуемого рассуждения как раз выражали определение чисел. Поэтому мы снова получаем кольцо определений, причём начинать его можно не с определения чисел, а с определения формул: определение формул выражается в терминах чисел, которые определяются через формулы, которые опять определяются через числа... и так далее.
Чтобы понять идею метаперехода, нам необходимо проанализировать, что с точки зрения философии сознания происходит в нашем мышлении при построении этой цепочки. Суть этой идеи заключается в том, что мы объявляем формулы, выражающие определение чисел в первый раз, во второй раз, и так далее, формулами разных копий одной теории, а числа, выражающие определения формул в первый раз, во второй раз, и так далее — объектами разных копий структуры натуральных чисел, получив тем самым не кольцо, а бесконечную цепочку структур натуральных чисел и теорий (а теория — это тоже структура). Звенья этой цепочки я назову метауровни. Мотивировка этого разделения понятий состоит в следующем. Формулы, выражающие определение чисел в первый раз, выражают только лишь определение структуры натуральных чисел на языке формул (неполное, как мы увидим ниже, так как невозможно задать все свойства чисел формулами). А формулы, выражающие определение чисел во второй раз, выражают не только определение чисел, но ещё и языком этих чисел выражают определение формул с первого уровня. Поэтому если мы попытаемся принять, что формулы с первого и с третьего метауровней на самом деле принадлежат одной структуре (одной теории), то мы получим, что эта одна теория сама выражает своё собственное определение. А значит, например, она может являться своим же собственным термом! Чтобы избежать противоречий, которые неминуемо вызваются допущениями подобных суждений**), мы обязаны либо вообще запретить построение подобных "колец", либо разнести понятия, признав, что на каждом метауровне обязательно должна создаваться новая структура.

С философской точки зрения это вполне естественно: если рассматривать модель мышления, то теория, частью которой являются формулы из второго определения чисел, "знает" об определении формул с первого уровня, а теория, частью которой являются формулы из первого определения чисел, о втором уровне "не знает". Таким образом, разделение, о котором я говорю, отражает способность человека производить рефлексию над собственым мышлением. В тот момент, когда мы рассматриваем числа как нечто неопределяемое, для нас формул ещё не существует. В этот момент языком, на котором мы выражаем наши мыслительные ощущения (ту самую гильбертовскую "интуицию"), является структура натуральных чисел. А в тот момент, когда мы почувствовали необходимость определения чисел и дали это определение с помощью формул, эти формулы, в свою очередь, стали для нас чем-то неопределяемым и далее неформализуемым. Числа в этот момент для нас сведены к формулам, и ощущения нашего мышления мы выражаем на языке формул и формальных теорий. Если же мы попытаемся вновь всё же определить формулы через числа (или даже ещё какую-либо иную абстракцию, например, через множества!), основные понятия языка чисел, на котором будет дано новое определение, вновь станут для нас неопределяемыми, а формулы - определёнными через них. И здесь я особо хочу акцентировать внимание, что мы можем пытаться выразить ощущаемые нами свойства на самых разных языках.

______________________________________________________
**) Для тех, кто немного понимает в логике я могу привести довольно простой пример того, как совместное использование объектов языка и метаязыка в одном предложении приводит к противоречиям. Возьмём формальную арифметику Робинсона и в ней теорему: 2 * 2 = 4. Предположим, что в теории выразимы свойства этой же самой теории, в частности, например, есть формула, выражающая свойство "х - терм, который не содержит символа *" ("быть термом теории" - очевидно, предложение метаязыка). Подставляя эту формулу во вторую аксиому равенства (очевидно, верную), мы получим теорему "(2 * 2 не содержит *) равносильно тому, что (4 не содержит *)", что неверно, так как слева стоит истина, а справа ложь. Ещё один занимательный пример, показывающий эту невозможность - парадокс Сколема: Парадокс Скулема

Итак, каждый раз, когда мы переходим к новым определениям, мы, по сути, изменяем язык, на котором выражаем наш опыт мышления, выбирая в качестве такого языка одну из математических структур ***). Новая структура (метаструктура) выражает своими отношениями и объектами отношения и объекты старой структуры (внутренней структуры). Все свойства, выраженные на старом языке, становятся переформулированы на новом языке, и даже само определение старого языка формулируется на новом. Однако проблема в том, что не всегда это возможно. Какие-то из этих языков более выразительны, какие-то менее: например, существуют свойства: Теорема_Париса_—_Харрингтона, Теорема Гудстейна, Kanamori–McAloon theorem, которые можно доказать в теории множеств, но нельзя доказать их аналогов в теории формальной арифметики (в этом случае язык теории формальной арифметики слабее языка теории множеств). Есть свойства структуры натуральных чисел, которые можно помыслить, но нельзя даже выразить с помощью теории формальной арифметики (в этом случае язык натуральных чисел сильнее языка теории формальной арифметики). И основные два факта, которые не учитывал Гильберт, состоят, во-первых, в том, что сам опыт нашего мышления не может быть на каком-либо основании сведён ни к какому из этих языков (о чём мы говорили ранее), а во-вторых, в том, что язык структуры натуральных чисел не может быть сведён к языку формальных теорий (первый гораздо сильнее).

В каждый момент времени наше мышление оперирует некоторыми неопределяемыми понятиями и некоторыми безосновательно принимаемыми на веру суждениями, на которых строится всё остальное, и теперь, поняв концепцию метаперехода, мы можем понять, почему такое происходит. Когда мы мыслим, например, о свойствах чисел, не пытаясь их определить, числа и отношения между ними являются тем языком, на котором мы выражаем ощущения нашего мышления. Если мы поймём по нашим мыслительным ощущениям, что мы не можем дать определений чисел, мы можем попытаться провести рефлексию и дать им определение в терминах другой структуры, однако мы в любом случае будем выражать его средствами метаязыка, находящегося на один уровень выше, и в этом языке вновь будут свои неопределяемые понятия. Из-за того что ни одна структура не может выразить своего собственного определения, мы всегда будем вынуждены выражать новое определение средствами новой структуры, и таким образом, никогда не избавимся от неопределяемых понятий языка. В частности, поэтому само понятие рефлексии, т.е. формулировка определения старого языка для выражения мышления на новом языке, оказывается неформализуемым. Определение этого понятия, если бы таковое могло бы быть выражено, должно было бы содержательно задействовать понятие "язык мышления, используемый сейчас" ("я произвёл рефлексию" = "используемый мной сейчас для выражения мышления язык выражает все свойства языка, используемого мной до этого"). Однако язык, используемый сейчас, используется сейчас, в момент формулировки этого самого определения, и потому не может оперировать с понятием "язык, используемый сейчас".
______________________________________________________
***) А возможно, и не математических - в принципе, ничто не мешает пытаться переформулировать математическую теорию на языке, например, бытовых понятий, выраженных словами русского языка. Например, объяснить квантовую механику с помощью аналогий со свойствами собак. Или, например, пытаться переформулировать теорию на каком-нибудь языке программирования. Безусловно, такие попытки будут сопровождаться потерей части смысла за счёт слабости нового языка по сравнению со старым, как я говорил выше.

Сам чувственный опыт мышления не похож ни на один из языков и остаётся несводимым ни к чему-либо ещё. Подобное понимание существования вещей, их заданность только лишь как ощущений, я называю перцептивным существованием. Существование же вещей как объектов языков, используемых для выражения этих ощущений, я называю формальным существованием. Я выделяю и третий смысл существования — объективное существование, существование как "вещи в себе", являющейся совершенно недоступной какому-либо познанию источником нашего ощущения. Но об этом я напишу как-нибудь в другой раз, при обсуждении философии сознания в контексте физики, а не математики.

Теперь мы подошли к месту, в котором я могу начать объяснение философских аспектов теоремы о неполноте. Чтобы понять мою идею, нам потребуется разобрать несколько ключевых деталей в её доказательстве. Для тех, кого интересует более полный с технической стороны набросок доказательства, просьба последовать сюда.

Здесь же я буду акцентировать внимание в основном на философии. Нас будут интересовать две различных формулировки теоремы: семантическая, использующая понятие истинности, и синтаксическая, использующая понятие доказуемости. Метаязык, который я буду использовать для формулировки теорем Гёделя, неявно предполагается языком теории множеств, хотя все те же результаты можно сформулировать и на языке формальной арифметики, или даже на языке свойств натуральных чисел.

Итак, первая теорема Гёделя о неполноте в синтаксической формулировке утверждает, что,

если T - эффективно аксиоматизируемая и непротиворечивая теория, содержащая формальную арифметику Робинсона (это очень слабый вариант арифметики, который содержится в подавляющем большинстве арифметических теорий), то Т синтаксически неполна (т.е. есть формула, которую в ней нельзя ни доказать, ни опровергнуть).

Первая теорема Гёделя о неполноте в семантической формулировке утверждает, что,

если Т - эффективно аксиоматизируемая и непротиворечивая теория, содержащая арифметику Робинсона, то Т семантически неполна (т.е. есть формула, выражающая истинное свойство натуральных чисел, но недоказуемая из аксиом этой теории).

Сначала рассмотрим синтаксическую формулировку.

Одна из двух важнейших лемм, требуемых для проведения этого рассуждения, формулируется так:

Если теория Т эффективно аксиоматизируема и синтаксически полна, то Т разрешима.

Я напоминаю в этом месте, что разрешимость множества означает наличие алгоритма, определяющего по объекту, лежит ли он в этом множестве. Теория называется разрешимой, если разрешимо множество её теорем. Теория называется эффективно аксиоматизируемой, если разрешимо множество её аксиом.

Вторая ключевая лемма, доказательство которой я считаю, без преувеличения, одним из самых гениальных рассуждений всей математики - это лемма Гёделя о неподвижной точке. Я не буду сейчас вдаваться в подробности её весьма сложной формулировки, вместо этого лучше приведу её следствие, которое состоит в следующем.

Пусть Т - теория, содержащая арифметику Робинсона. Если она непротиворечива, то она неразрешима.

Отсюда мы легко получаем первую теорему Гёделя о неполноте. Будем рассуждать в предположении что арифметика Робинсона непротиворечива, а наша теория содержит все теоремы этой арифметики.

Мы знаем из первой леммы, что если эффективно аксиоматизируемая теория полна, то она должна быть разрешима. Но по следствию из леммы о неподвижной точке, арифметика Робинсона неразрешима (будучи при этом эффективно аксиоматизируемой — аксиомы арифметики не составляет труда выписать). Значит, арифметика не может быть полна.

В этой несложной цепочке рассуждений можно легко увидеть основную суть теоремы Гёделя. По сути, в ней фигурируют четыре свойства изучаемой теории. Первое — это полнота, второе — это эффективная аксиоматизируемость, третье - это непротиворечивость, и четвёртое — это то, что эта теория содержит все теоремы арифметики Робинсона. Однако фишка в том, что теорема Гёделя не запрещает безоговорочно ни одно из этих условий. Она лишь запрещает их одновременное выполнение. По этой причине, например, легко переписать теорему Гёделя не в духе "запрещения полноты", как это принято делать, а в духе "запрещения разрешимости". В этой редакции она будет утверждать: если полная теория, содержащая арифметику Робинсона, непротиворечива, то она не эффективно аксиоматизируема (т.е. множество аксиом неразрешимо). Аналогичным образом можно переписать её в духе "запрещения арифметичности": если полная эффективно аксиоматизируемая теория непротиворечива, то она не может содержать всех теорем арифметики Робинсона. Есть и формулировка в духе "запрещения непротиворечивости" - её вы сможете теперь сформулировать сами.

Я предлагаю теперь посмотреть на вариант теоремы Гёделя, запрещающий разрешимость. На самом деле лично я считаю именно эту, алгоритмическую, формулировку теоремы главной. ****) Потому что именно неразрешимость приводит нас к механизму недоступности того, что мы хотим получить. Акцент на неполноте просто говорит нам о том, чем нам приходится довольствоваться, но не проливает света на причину этого. А причина того, что мы не можем иметь полной теории, состоит отнюдь не в том, что её вообще нет. В конце концов, ничто не мешает нам просто обозначить полную теорию натуральных чисел за Th(N) - в рамках классической финитной математики это множество существует, и его можно изучать (я уже говорил о нём ранее). Проблема в том, что у нас не может быть алгоритма (то есть, системы команд для машины Тьюринга), который позволил бы получить её аксиоматику. Если бы неразрешимость не была бы для нас преградой к получению информации; если бы мы могли охватить бесконечно большой объём не заданных никаким алгоритмом данных за конечное время — то теорема Гёделя не значила бы для нас ничего. Однако, я повторю свою мысль из начала этого параграфа - никто не доказал, что мы никогда не сможем расширить наших возможностей. Всегда есть надежда открыть гипервычисления, пусть даже сейчас невозможно даже представить себе, какие физические процессы могут привести к такой возможности.

______________________________________________________
****) Именно она приводится, например, в курсе лекций по матлогике от Верещагина и Шеня, и именно она близка к крайне абстрактной формулировке этой теоремы, излагаемой Беклимишевым в статье "Теоремы Гёделя о неполноте и границы их применимости". Тем, кто хочет ознакомиться с математическими приложениями теорем о неполноте, а также узнать огромное количество очень странных примеров и интереснейших источников, я крайне рекомендую эту статью.

Наконец, после этого долгого пути пришла пора поговорить о Боге. Мы пришли к тому, что для того чтобы получить столь желанную полную теорию натуральных чисел требуется реализовать гипервычисления, концепция которых противоречит известным в настоящее время законам физики. В этом месте кто-то скажет: "вот же оно, прямое указание на Бога! Достижение истины требует наличия возможностей изменения физических законов, возможностей, близких к всемогуществу божества! КАКИЕ ЕЩЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕБЕ НУЖНЫ, НЕВЕРУЮЩИЙ ТЫ ФОМА?!". Однако у меня припасена для вас ещё одна история, которая продемонстрирует, что вещь, с которой мы имеем дело, куда ближе к некой безликой и всеобъемлющей математической стихии, чем к чему-то, что может быть сколько-нибудь убедительно персонифицировано. С философской точки зрения эта история напоминает мне появление в космологии инфляционных теорий, разбивших красивые сказки протестантских богословов о том, что наша Вселенная, якобы, "тончайшим образом настроена" специально для появления в ней жизни. Я очень надеюсь, что моей недоразвитой компетенции хватит для того чтобы изложить её популярно.

Я начну издалека.

В самом начале я упомянул, что алгоритмы в математике могут быть строго определены многими разными способами, первым из которых исторически была машина Тьюринга, а остальные способы говорить об алгоритмах сводятся к ней и друг к другу. Теперь давайте немного углубимся в подробности того, какую роль играют в математике алгоритмы.
Что делает алгоритм? Он вычисляет. Ему на вход подаются некие абстрактные объекты, а он, выполняя с ними операции из строго определённого набора, выдаёт результат. Входными и выходными объектами может быть, вообще говоря, что угодно - это могут быть функции, числа, векторы, и т.п., но обычно входные данные кодируются натуральными числами, и на вход подаются их коды. Список допустимых к выполнению операций играет роль языка программирования, на котором выполняется каждый конкретный алгоритм. Обычно язык этот содержит только самые-самые простые операции - для того чтобы выполнить более сложные вычисления, требуется комбинировать эти изначально разрешённые действия. Например, в машинах Тьюринга среди таких операций есть сдвиг ленты вправо или влево, а также считывание или печать одного символа на ячейке некой абстрактной ленты.

Существование алгоритма предполагает, что можно решить задачу с использованием набора допустимых операций. Теперь давайте вспомним ещё про одно математическое понятие - понятие функции. Что такое функция? Функция y = f(x) - это абстрактное соответствие, которое каждому иксу сопоставляет некоторый игрек. Обратите внимание на важную вещь: в этом определении нигде не сказано, что математик Вася, мыслящий о функции f, должен иметь возможность узнать, какой конкретно y сопоставлен какому x. Мы привыкли, что функции задаются формулами, что-то типа y = 2x+5. В этом случае, подставив в эту формулу конкретное число х, мы узнаем, какому числу y он сопоставляется. Однако в ходе вычисления по формуле мы производим ни что иное, как исполнение алгоритма! Так может быть, все функции можно задать если не формулами, то алгоритмами? Может быть, всякий раз, когда мы можем говорить о сопоставлении, мы можем говорить и о вычислении? Или же можно помыслить чётко заданную некой абстрактной логикой функцию, которая сопоставляет одним числам другие, но тем не менее ни формулой, ни каким-либо иным алгоритмом нельзя понять, что чему сопоставлено?

Такие функции, функции, для которых нет алгоритма по Тьюрингу, были построены. Самым ярким и простым примером такой функции является функция самоприменимости. Конструкция её состоит в следующем (это доказательство реально нужно для того чтобы понять дальнейшие рассуждения).

Припишем каждой из бесконечного множества всех возможных программ для машины Тьюринга определённое число - порядковый номер этой программы. Некоторые программы не предназначены для работы на определённых числах: если им подать эти числа на вход, они зациклятся и никогда не закончат работы. Зададим теперь такой вопрос: как определить, закончит ли работу программа под номером N, если ей на вход подать число N? Сформируем функцию, которая сопоставляет числу N ноль, если программа номер N зацикливается, начав работу на своём собственном номере, и единицу в противном случае (т.е. если не зацикливается). Эта функция называется функцией самоприменимости машин Тьюринга. Предположим теперь, что для этой функции существует вычисляющая её программа. Модифицируем эту программу: пусть теперь, если подать ей на вход номер зацикливающейся программы, она, как и прежде, выдаёт 0, а вот если подать ей на вход номер незацикливающейся программы, она больше не выдаёт 1, а входит в бесконечный цикл. У нас получилась новая программа. Вспомним теперь, что мы приписали номер всем программам, без исключения. Значит, у нашей новой программы тоже должен быть номер, пусть это число D.

Подадим теперь на вход этой программе её же собственный номер D. Что должна она выдать? Если 0, то тогда получается, что она закончила работу (выдав нам в конце 0). Но с другой стороны, то, что она выдала 0, означает, что ей на вход подали номер зацикливающейся программы, которая никогда не заканчивает работу, а подавали ей на вход её же номер! Противоречие. Значит, 0 она выдать не может. Теперь вспомним, как мы её модифицировали, и видим, что единицу она тоже выдать не может. Значит, остаётся один вариант: при подаче ей на вход D она зацикливается. Но при её создании мы объявили, что она зацикливается только на номерах тех программ, которые успешно завершают работу. А D - это её собственный номер, то есть, она должна успешно завершать работу! Противоречие в обоих возможных случаях. Это противоречие возникло из-за того, что мы предположили, что для построенной нами функции существует программа. Значит, никакой программы для неё быть не может.

Кроме функции самоприменимости было построено множество других невычислимых функций - в частности, например, функция усердного бобра, использующая максимальную сложность программ фиксированной длины, или анализатор проблемы остановки. Более того, Райсом была доказана теорема, которая даёт целое бесконечное семейство таких функций, однако не будем дальше об этом.

Итак, существует целое множество задач, которые невозможно решить алгоритмами для машин Тьюринга. В этом месте давайте вспомним про то, что я ранее писал про гипервычисления, но рассмотрим этот вопрос несколько более подробно. Как можно смотреть на алгоритм в самом общем смысле? Это в первую очередь источник информации. Операции любого из алгоритмических языков есть ни что иное, как источники информации об объекте, над которым совершаются эти операции. Зная начальные значения в ячейках входа и применяя к ним допустимые в рамках данного языка программирования операции, мы получаем всё больше и больше информации о результатах, до тех пор, пока среди них не окажется свойство, ради которого алгоритм выполняется — например, свойство определённого числа удовлетворять условиям задачи. (Кстати говоря, упомянутый мной подход весьма близок к классическому Шенноновскому подходу к информации). Мы разрабатываем как теоретические, так и практические языки программирования исходя из того, что их простейшие операции (а значит и все остальные операции, так как они состоят из простейших) должны быть осуществимы на реальных физических системах — таков, например, язык команд для машины Тьюринга. Однако ничто не мешает нам предположить, что имеются некие физически недоступные нам сейчас источники информации, некие "чёрные ящики", которые позволят "в принудительном порядке" за всего лишь одну операцию получить информацию, которую невозможно получить с помощью машин Тьюринга. Подобные "чёрные ящики" получили название оракулов. Оракулы — это абстрактные вычислительные блоки, которые без машины Тьюринга дают ответ на неразрешимую по Тьюрингу задачу. Они и есть то, что осуществляет гипервычисления. Например, можно рассматривать оракула, который может производить всего лишь одну операцию — вычислять функцию самоприменимости машин Тьюринга. Такой оракул играет особую роль в теории вычислимости, критически важную для богословия, которое пытается продвинуть Савватеев (да-да, я прекрасно помню, что всё это время комментирую одну фразу Савватеева), и сейчас я расскажу, какую.

Добавляя блок оракула к стандартным командам для машины Тьюринга, мы получаем возможность использовать в программах операцию, выполняемую этим оракулом. Из-за того что оракул решает задачу, неразрешимую в его отсутствие, мы получаем возможность, комбинируя операцию оракула с командами обычного языка, решать с его помощью и многие другие неразрешимые задачи, а не только одну. Модернизированная таким образом машина Тьюринга называется машиной Тьюринга с оракулом первого уровня.

В этом месте нам понадобится вспомнить конструкцию функции самоприменимости, о которой я рассказывал несколькими абзацами ранее. Как вы помните, у нас была бесконечная нумерация всех программ для обычной машины Тьюринга — у каждой программы свой номер. Эта невычислимая функция сопоставляла 0 номерам программ, зацикливающимся при попытке исполнить их на их собственном номере, и 1 остальным программам. Сейчас мы сделаем следующее. Пронумеруем теперь натуральными числами все программы для машины Тьюринга с оракулом первого уровня. И сформируем функцию, которая сопоставляет 0 номерам программ с оракулом, зацикливающимся при попытке исполнить их на их собственном номере, и 1 остальным программам. Эта функция называется функцией самоприменимости машин Тьюринга с оракулом первого уровня. Зададим вопрос: существует ли алгоритм для машины Тьюринга с оракулом первого уровня, который вычисляет эту функцию? Легко видеть, что в точности такое же рассуждение показывает, что нет — эта задача неразрешима даже на машине Тьюринга с оракулом.

Думаю, вы понимаете, что будет дальше. Мы добавим к машине Тьюринга с оракулом ещё один блок оракула, который вычисляет функцию самоприменимости машин Тьюринга с оракулом первого уровня. Модернизированная таким образом машина Тьюринга называется машиной Тьюринга с оракулом второго уровня, и функция самоприменимости для таких машин Тьюринга точно так же будет невычислима. И так далее, до бесконечности. Таким образом, мы должны понимать, что гипервычисления не являются какой-то одной "божественной" возможностью. У гипервычислений них есть свои "уровни мощности", и уровни эти измеряются уровнем оракула машины Тьюринга. При этом для любого достигнутого нами уровня "божественных" гипервычислений существуют задачи, неразрешимые даже на этом уровне — и примером такой задачи является задача самоприменимости машин Тьюринга оракула этого уровня.

В этом месте вспомним, наконец, о синтаксической теореме Гёделя. В наиболее плодотворной формулировке, запрещающей разрешимость, она утверждает, что полная непротиворечивая теория, содержащая арифметику Робинсона, не может быть эффективно аксиоматизируема - иными словами, что её множество аксиом неразрешимо. Таких теорий существует много, так как у теории формальной арифметики есть много разных моделей. Одной из наиболее важных является теория, состоящая из истинных формул в L-структуре натуральных чисел, Th(N) - её и возьмём в качестве примера. Вспомним теперь, что означает "множество разрешимо": это означает, что существует алгоритм, который выдаёт "1", если ему дать на вход элемент этого множества, и "0", если подать на вход что-то, что не лежит в нём. Теперь пронумеруем неким образом все формулы арифметики (как истинные, так и ложные), и сформируем функцию, которая сопоставляет единицу номерам формул, входящих в аксиоматику Th(N), и 0 номерам формул, не входящих в неё. Эта функция называется характеристической функцией, и глядя на определения наших терминов, мы видим, что теорема Гёделя, по сути, утверждает, что эта функция невычислима. Однако невычислима она на машине Тьюринга. Возможно, она станет вычислима, если добавить оракула какого-нибудь уровня?

Если это так, то получается интересная ситуация. Богословствующие математики, говоря о неразрешимости, выдвигают идею, что в пользу Бога свидетельствует существование истин, которые невозможно получить языками доступных людям в данный момент теорий. Однако раз есть истинное свойство, значит, логично предположить, что есть и некий сверхразум, которому это свойство всё же будет доступно (этот весьма скользкий переход стоит отдельного обсуждения, но это скорее философский вопрос, математика тут не при чём). Этот сверхразум и есть Бог. В качестве недоступной человеку истины выступает, конечно же, полная и непротиворечивая арифметическая теория Th(N), характеристическая функция которой оказывается невычислимой. Однако если она вычислима с оракулом хотя бы какого-то уровня, то это означает, что возможности этого сверхразума, пусть и бесконечно более велики, чем наши, но тем не менее, вполне вероятно, не безграничны. Мы можем лишь утверждать, что они находятся на уровне оракула, способного вычислить характеристическую функцию теории Th(N). Но мы знаем, что для любого уровня оракулов существуют задачи, которые с их помощью неразрешимы. В таком случае эти задачи будут неразрешимы и для Бога — с чем, полагаю, наши богословы не захотят согласиться.
Однако быть может, конкретно характеристическая функция Th(N) невычислима ни с помощью какого оракула никакого уровня? И тогда существо, возможностям которого доступно вычисление этой функции, можно будет счесть истинно всезнающим. Итак, может ли характеристическая функция Th(N) быть вычислима алгоритмом для машины Тьюринга с каким-нибудь, быть может, очень мощным оракулом?

К сожалению, чтобы ответить на этот вопрос, требуется понимать, что такое ординалы, а объяснять эту теорию целиком мне здесь несколько лень. Поэтому я просто скажу, что существует в математике такое абстрактное обобщение обычных чисел, иерархия, называемая ординалами. Она используется для изучения бесконечностей. Сначала в этой иерархии бесконечное число мест занимают обычные числа, начинающиеся с нуля — они объявляются первыми ординалами. Но далее в иерархии идут уже ординалы-бесконечности разных уровней, и для любой из этих бесконечностей существует ещё больший ординал, следующая бесконечность, в определённом смысле несводимая к предыдущей (и нет, это не иерархия бесконечных мощностей, как могли подумать в этом месте люди, знающие матан, это немного другая вещь). Путём применения некой не очень простой конструкции, называемой «прыжок Тьюринга» ординалы можно использовать в качестве уровней оракулов. Так вот ответ на поставленный в прошлом абзаце вопрос — "да". Есть такая партия!такой оракул! И это оракул мощности, равной ω, первому из бесконечных ординалов (напоминаю, что машинам Тьюринга недоступен даже оракул уровня 1). Сложность разрешимости полной и непротиворечивой теории натуральных чисел, истинной арифметики, поражает всякое воображение. Но как я говорил, из того, что существуют и ещё бОльшие ординалы, следует, что существуют неразрешимые даже с этим оракулом задачи - и это полностью дезавуирует представление о синтаксической теореме Гёделя как об аргументе в пользу существования Бога.
https://en.wikipedia.org/wiki/True_arithmetic
https://en.wikipedia.org/wiki/Turing_degree

Давайте теперь обратимся на несколько параграфов назад и вспомним, что синтаксическую теорему Гёделя можно понимать в духе запрещения одного из четырёх свойств. Анализ формулировки теоремы, запрещающей разрешимость аксиоматики, привёл нас к идеям ординальной Тьюринговой иерархии степеней неразрешимости. Теперь я предлагаю посмотреть на формулировку, запрещающую арифметичность: если полная эффективно аксиоматизируемая теория непротиворечива, то она не может содержать всех теорем арифметики Робинсона. Задумаемся над таким вопросом: а с чего мы вообще взяли, что математика должна быть построена на теории, содержащей арифметику Робинсона?

Вспомним, ради чего вообще начался весь сыр-бор с придумыванием формальных теорий и аксиоматизацией математики. Начался он с того, что в математике возникло положение "кризиса оснований", при котором в "наивной" теории множеств были обнаружены противоречия, и при этом не было единого философского взгляда на сущность и определения используемых в математике концепций. Гильберт видел обоснование математики в сведении структуры натуральных чисел к некой формальной теории, так как был убеждён, что формулы являются "привелигированным", "объективно верным" языком нашего мышления, к которому можно свести весь опыт мышления, и раз свойства натуральных чисел тоже можно воспринять мышлением, следует задать все эти свойства формулами, построив тем самым формальную теорию, которая раз и навсегда опишет мышление о натуральных числах. А значит, и о чём угодно ещё, так как математика превосходно поддаётся изложению на языке чисел, за достаточно редкими исключениями, имеющими спорное значение, для которых нужна теория множеств (я упоминал о них).

Однако помимо гильбертовского финитизма есть и другие точки зрения на философию оснований, а именно логицизм Фреге и интуиционизм Брауэра, в которых теорема Гёделя, хотя и имеет место, но несёт куда меньшее философское значение.

Несмотря на противоречия, связанные с V-м законом аксиоматики Фреге, я бы не стал так просто сбрасывать логицизм со счетов. Линия неологицизма К. Райта крайне интересна различными принципами абстракции, а различие между экземплификацией и кодированием по Э. Залте несколько напоминает используемое мной разделение понятия существования на объективное и формальное. Однако сейчас я недостаточно компетентен, чтобы рассуждать на тему неологицизма.

Куда больше интересна в нашем контексте позиция конструктивизма, философии, которая является развитием интуиционизма. Хотя интуиционизм отличается от конструктивизма, причём, по сути, в одном из самых основных положений, тем не менее я не могу не написать про интуиционизм даже хотя бы просто из почтения. Это подход к основаниям математики, который я считаю совершенно революционным для своего времени. Если Гильберт был неопозитивистом, опередившим своё время, то Брауэр был в чём-то постпозитивистом, опередившим своё время. Он был человеком XXI века из 1913 года. Будь математиком — живи на век вперёд.

Основная идея философии Брауэра состоит в том, что математика и математический язык - это две совершенно разные вещи. Математика дана нам лишь в опыте, в непосредственных ощущениях мышления. Однако Брауэр полагает (и для меня это несколько спорный тезис), что ощущения, требуемые для построения математического мышления, сводятся к так называемому "восприятию времени". "Восприятие времени" - пишет Брауэр - "может быть описано как разделение одного момента жизни на две отдельных вещи, одна из которых превращается в другую, но при этом сохраняется в памяти. Если лишить эту двойственность всех качеств, она превращается в пустую [=свободную от содержания] форму, являющуюся основанием для любой другой двойственности. И именно это общее основание, эта пустая форма, является фундаментальной математической интуицией". Это - первое из двух правил интуиционистской философии, на основании которого строится концепция натуральных чисел. Различие, например, между числами 1 и 2 здесь отождествляется с ощущением различия двух моментов времени. Второе правило является основанием для введения в математику концепции конструктивного объекта. Это правило позволяет создавать новые математические объекты, но только из уже заданных, причём допускаются два правила создания: во-первых, допускается формирование так называемых свободно становящихся последовательностей — бесконечных последовательностей, причём, что важно, допускаются последовательности, не вычисляемые никаким алгоритмом. Во-вторых, допускается формирование "видов", проще говоря, свойств, которые можно приписывать только уже заданным объектам, с тем правилом, что если заданный объект обладает свойством, то им же обладают и все равные ему объекты. Позднее Брауэр добавил в свою концепцию понятие "Создающего субъекта" - абстрактного познающего агента, который в каждый момент времени либо располагает доказательством какой-либо формулы, либо нет.

Такова философия интуиционизма. Оцените, что здесь прекрасно осознаётся приоритет опыта над языком описания — идея, которая дошла до значительной части научного сообщества лишь во второй половине XX века. На самом деле классический брауэровский интуиционизм — странная штука, и довольно редкий покемон в современной математике, во многом из-за того что он очень плохо поддаётся формализации. Математика, построенная на нём, позволяет рассмотрение бесконечных и невычислимых никаким алгоритмом последовательностей, НО при этом требует, чтобы все операции производились с ними лишь до определённого элемента, а все формулы были верны или не верны лишь в определённый момент времени. Таким образом, математика на фундаментальном уровне привязывается к течению времени. Если в некоторый момент математик не знает, верна ли формула, то в этот момент эта формула не считается ни верной, ни неверной - и тем самым, интуиционизм не считает верным закон исключённого третьего. Аналогично, интуиционизм отвергает абстракцию актуальной бесконечности. Например, совершенно другой смысл имеет квантор "существует". В частности, чтобы проверить существование числа с нужным свойством в последовательности, мы имеем возможность проанализировать лишь некоторое конечное количество первых её элементов, потому что подразумевается, что всякая последовательность задаётся лишь во времени последовательным перечислением её элементов. Все свойства чисел, которые требуют рассмотрения "произвольного" элемента последовательности, если номер его может быть в данный момент неизвестен, объявляются не истинными, но при этом не истинность отличается от ложности, и это выносит мозг больше всего. Таким образом, в этой математике отвергается понятие актуальной бесконечности - бесконечность возможна только потенциальная, как нечто становящееся в ходе бесконечного процесса, доступного нам только в начальные моменты. Математический анализ в этой математике очень сильно отличается от привычного: там доказываются свойства, неверные в классическом анализе (например, любая всюду определённая функция на R непрерывна). Однако из плюсов интуиционистской математики можно указать так называемое дизъюнктивное свойство: если мы доказали формулу "А или В", то мы всегда можем получить доказательство формулы А, или формулы В. Существует несколько формальных теорий, описывающих своими аксиомами различные аспекты интуиционизма, но какой-либо общепринятой среди них не существует — и, по-видимому, интуиционизм также следует считать неформализуемой концепцией. Вряд ли единая система аксиом для него может существовать, так как согласно философии интуиционизма, множество этих аксиом будет задано только в определённый момент времени, и вполне возможно, в некий следующий момент времени мы примем другие аксиомы. Сравните это с неформализуемостью и "последовательным построением" цепочек метаперехода с помощью рефлексии, о которой я говорил ранее, и прочувствуйте всю прогрессивность интуиционизма.

Конструктивизм — более слабая и упрощённая версия интуиционизма. Многие считают его частью интуиционизма. Этот подход сохраняет его основные плюсы, куда проще формализуется, и при этом меньше давит на мозг философией, и потому приобрёл определённую популярность. Он отказывается от цели описания закономерностей опыта математического мышления, сводя математику к операциям с конструктивными объектами — то есть, объектами, которые можно получать работой алгоритмов. Конструктивизм также оперирует с объектами, порождаемыми за конечное время (ибо алгоритмы должны работать конечное время), но в отличие от интуиционизма, время здесь измеряется не в неких философских "моментах жизни", а в шагах алгоритма для некоторого командного языка (например, машины Тьюринга). Все истинные формулы должны иметь доказательство, но при этом доказательства, которые просто "существуют" где-то там, но их нельзя предъявить, не принимаются: всякое доказательство (и всякий другой объект) должно быть конкретным, и должно быть получено с помощью некого алгоритма, формирующего доказательства. Конструктивные последовательности могут быть бесконечными, но бесконечная последовательность обязана задаваться алгоритмом, позволяющим получить за конечное время любой её элемент. Последовательности, не задаваемые алгоритмом, признаются не существующими. Формулы, для которых нет алгоритмического доказательства или опровержения, объявляются в этом подходе ни истинными, ни ложными — и в соответствии с этим в конструктивизме также отвергается закон исключённого третьего. Дизъюнктивное свойство по-прежнему верно там, но математический анализ имеет куда более адекватный вид: теоремы конструктивного анализа не опровергают теоремы классического, но некоторые классические теоремы не могут быть доказаны. Они заменяются версиями, которые абсолютно эквивалентны классическим теоремам для любых практических нужд, просто формулируются сложнее. У конструктивистской математики существует своя общепринятая базовая аксиоматика — интуиционистская логика высказываний, построенная Гейтингом, которую он изначально планировал как аксиоматику для интуиционизма. Имеется и теория конструктивной арифметики — арифметика Гейтинга, в которой доказывается своя версия теоремы Гёделя, и даже конструктивная версия теории множеств.

В сущности, конструктивизм основан на одном простом соображении: рассуждения об объектах, которые никак нельзя задать, совершенно бессмысленны с практической точки зрения. Если мы не можем получить о чём-то никакой информации, то его всё равно что нет. И из этого вытекает ещё один очень простой ответ на тезис Савватеева со стороны конструктивизма: хотя теорема Гёделя и доказывается в конструктивизме, но неразрешимая формула попросту не является истинной. И ложной тоже не является. Теорема Гёделя доказывает лишь то, что у некой формулы нет ни доказательства, ни опровержения — вот и всё. Но в этом нет ничего плохого, потому что в природу конструктивной математики изначально заложена невозможность доказать или опровергнуть все формулы.

Однако можно пойти и ещё дальше. Ультрафинитизм — концепция построения математики, которая является дальнейшей прокачкой конструктивизма, и, на мой взгляд, это наиболее точная попытка философского описания реального математического мышления. Я писал про эту концепцию здесь.

Ультрафинитизм на данный момент не формализован и очень плохо разработан, существует только общая концепция уровня "как это должно выглядеть", интересная двум с половиной специалистам. Оно и не удивительно: во-первых, конкретное ограничение на сложность алгоритмов довольно сложно интегрировать в теории на уровне синтаксиса, а во-вторых, с практической точки зрения подобное реформирование математики мало кому интересно, учитывая что всем нуждам удовлетворяет обычный гильбертовский формализм. Я, однако, вижу в задаче составления этой системы довольно важное философское значение - в первую очередь для психологии и философии сознания.

Так вот если ультрафинитистская логика будет в каком-либо виде разработана, то теорема Гёделя для неё будет, скорее всего, просто неверна, потому что арифметика на базе этой логики не будет содержать всех теорем арифметики Робинсона, и значит, вполне может быть одновременно полной, непротиворечивой, и (ультра)эффективно-аксиоматизируемой. Живите с этим.

Я, правда, предчувствую, что у неё будет свой аналог теоремы Гёделя, который будет утверждать что-то типа того что, если у нас есть некая неполная ультраэффективно-аксиоматизируемая арифметика с ограничением сложности C, то содержащая её полная ультраэффективно-аксиоматизируемая арифметика, являющаяся её пополнением, будет иметь сложность аксиоматизации D, которая строго больше С. Причём конечные числа C и D будут относиться друг к другу в чём-то так же, как число 1 к ординалу ω (на что может быть похоже это отношение, мне самому довольно интересно). Но это, очевидно, всё равно лишает ситуацию какого-либо богословского смысла, так как возможности "бога", задаваемого таким гипотетическим вариантом теоремы Гёделя будут ограничены конечной сложностью, и чтобы их достигнуть, нам не нужно будет даже гипервычислений.

Продолжение следует...